Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，對角線AC與BD交于點O，M為OC中點．

（1）求證：BD⊥PM
（2）若二面角O﹣PM﹣D的正切值為2 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，

又BD平面ABCD，∴BD⊥PA，

∵底面ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，

又PM平面PAC，

∴BD⊥PM．

（2）解：過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，

因為DO⊥平面PAC，由三垂線定理可得DH⊥PM，

所以∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角，

設PA=b，AD=4，

∵底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=120°，

∴OD=2 ，OM=1，AM=3，且 = ，

從而OH= = = ，

∴tan∠OHD= = ，

所以16b2=144，解得b=3．（舍負值）

∴PA的長為3．

則 = ．

【解析】（1）根據線面垂直的判定，先證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的性質即可證明BD⊥PM．（2）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為2 ，即可求出 的值．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．