Question

側棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，側棱AA₁=2，點O，M分別是BC，A₁C₁的中點，建立如圖所示空間直角坐標系．
（Ⅰ）寫出三棱柱各項點及點M的坐標；
（Ⅱ）求cos（

CM

，

BA1

）的值．

Answer 1

考點：空間向量的夾角與距離求解公式

專題：空間向量及應用

分析：（Ⅰ）根據圖形及邊的關系，容易求出要求的點的坐標．
（Ⅱ）先根據向量數量積的坐標運算，求出

CM

•

BA1

，再根據向量的坐標求出向量的長度，帶入向量夾角的余弦公式即可求出cos（

CM

，

BA1

）．

解答：解：（Ⅰ）根據圖形可求得下列點的坐標：
A（

3

，0，0），B（0，-1，0），C（0，1，0），A1(

3

，0，2)，B₁（0，-1，2），C₁（0，1，2），M(

3

2

，

1

2

，2)．
（Ⅱ）

CM

=(

3

2

，-

1

2

，-2)，

BA1

=(

3

，1，2)；
∴

CM

•

BA1

=-3，|

CM

|=

5

，|

BA1

|=2

2

；
∴cos(

CM

，

BA1

)=

-3

2 10

=-

3 10

20

．

點評：考查空間向量點的坐標，向量的坐標，根據向量坐標求數量積，求向量長度，以及向量夾角的余弦公式．