Question

【題目】已知函數，，為自然對數的底數．

（Ⅰ）若為單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當存在極小值時，設極小值點為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）若為單調遞增函數，則有恒成立，從而求的最小值即可得解；

（Ⅱ）結合（Ⅰ）中函數的單調性只需討論時，通過討論導數的正負得使得，使得，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，所以，結合，消去留，構造，可證得，進而只需證明，再構造函數利用單調性即可證得.

（Ⅰ）由題意知，

令，，

顯然在上單調遞增，且，

故當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

所以．

若為增函數，則恒成立，即，即．

經檢驗，當時，滿足題意．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知時，為增函數，不存在極小值；

當時，，，，

故存在使得；

，令，，

顯然在上單調遞增，

故，故在上單調遞增，

故，故，

因此存在使得．

因此在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增．

，，

由代入消去得，

令，，

當時，，，

故時，，單調遞減，

即在上單調遞減，故，

故要證，只需證，

令，，

當時，，單調遞增，

故當時，．

綜上，成立．