Question

【題目】.已知函數(shù).

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若當(dāng)，且時(shí)，，求整數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，分為，，三種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系得到單調(diào)性；

（2）結(jié)合（1）易得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得由，令，，已知可化為在上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出整數(shù)的最小值即可.

（1），，

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，

②當(dāng)時(shí)，令，解得，

令，解得；

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，等號(hào)僅在，時(shí)成立，

所以在上單調(diào)遞增，

（2），當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，由（1）知，所以（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以，

令，，已知化為在上恒成立，

因?yàn)?/span>，令，，則，

在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，，

所以存在使得，

當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；

所以，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以的最小整數(shù)值為.