Question

【題目】已知函數，，為自然對數的底數．

（Ⅰ）若為單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當存在極小值時，設極小值點為，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由，可令，然后，，然后通過討論的單調性，進而可以求出的最小值，又由為單調遞增函數，即可求解.

（Ⅱ）利用導數的方法可得出，當時，①，利用，得②，然后，利用①和②可得，，進而令函數，利用的單調性，即可求證.

解：（Ⅰ）由題意知，

由為增函數可知恒成立．

設，，

令得，

當時，，單調遞減，即單調遞減；

當時，，單調遞增，即單調遞增．

故，又由為單調遞增函數，則恒成立，因此，，所以，．

經檢驗，當時，滿足題意．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知時，．

又因為，，且在上單調遞減，

所以存在使得，，

令，，

當時，，單調遞增，

故，

又，在上單調遞增，故存在使得．

因此有在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

故，，利用

將代入消去得，

函數的對稱軸為，

故在上單調遞減，

因此，即成立．