Question

12． 如圖，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，四邊形ACED的面積為$\frac{3}{2}$，F為BC的中點，
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）設BE的中點為M，連結DM、FM，由題意和線面垂直的性質得：四邊形ADEC是直角梯形，由梯形的面積公式列出方程求出CE，由題意和中位線的性質得：四邊形ADMF是平行四邊形，由平行四邊形的性質、直線與平面平行的判定證明結論成立；
（2）由條件和線面垂直的定義、判定定理得：AF⊥平面BCE，由AF∥DM和面面垂直的判定定理證明結論成立．

解答 證明：（1）設BE的中點為M，連結DM、FM，
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴AD∥CE，且AD⊥AC，CE⊥AC，
∴四邊形ADEC是直角梯形，
∵四邊形ACED的面積為$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}（AD+CE）•AC=\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}（1+CE）•1=\frac{3}{2}$，
解得CE=2，
∴AD∥CE，且AD=$\frac{1}{2}$CE，
又F、M分別為BC、BE的中點，
∴AD∥FM，且AD=FM，
∴四邊形ADMF是平行四邊形，∴AF∥DM，
∵DM?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE；
（2）∵AB=AC，F為BC的中點，∴AF⊥BC，
∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥AF，
∵BC∩CE=E，∴AF⊥平面BCE，
又AF∥DM，∴DM⊥平面BCE，
∵DM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．

點評 本題主要考查直線與平面平行的判定，線面垂直、面面垂直的性質和判定定理，以及梯形的面積計算，考查考生推理論證能力，空間想象能力．