Question

10．設f（x）是定義在R上的函數，若f（0）=2016，且對任意x∈R，滿足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x則f（2016）=2015+2²⁰¹⁶．

Answer 1

分析 由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，②-①可推得f（x+6）-f（x+2）≥15•2^x+2，可化為f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，可得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，兩式相加可得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，由③④可推得恒等式，由此可求得答案．

解答 解：由f（x+2）-f（x）≤3•2^x①，f（x+6）-f（x）≥63•2^x②，
②-①，得f（x+6）-f（x+2）≥60•2^x=15•2^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2^x③，
由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2，
兩式相加，得f（x+4）-f（x）≤3•2^x+3•2^x+2=15•2^x④，
由①④，得f（x+4）-f（x）=15•2^x，
∴f（2016）=f（2012）+15•2²⁰¹²
=f（2008）+15•2²⁰⁰⁴+15•2²⁰⁰⁸
=…
=f（0）+15•2²⁰¹²+15•2²⁰⁰⁸+…+15•2⁴+15•2⁰
=2016+15•$\frac{1-{16}^{504}}{1-16}$=2015+2²⁰¹⁶，
故答案為：2015+2²⁰¹⁶

點評 本題考查抽象函數，函數單調性的性質及其應用，考查函數的求值，解決該題的關鍵是由不等式變出恒等式，體現轉化思想