Question

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求的值，并求的定義域；

（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，不需要證明；

（3）若對(duì)于任意，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ,定義域?yàn)?/span>,(2) 增函數(shù),(3)

【解析】

(1)利用奇函數(shù)在定義域上恒成立,列式利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡求解即可.

(2)直接根據(jù)對(duì)數(shù)的化簡以及單調(diào)性判斷即可.

(3)利用(2)中的單調(diào)性與定義域, 恒成立即

恒成立.再分,兩種情況換元分析進(jìn)行求解即可.

（1）∵函數(shù)為奇函數(shù),在定義域內(nèi)恒成立

即,,或（此時(shí)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故舍去）,故,

,函數(shù)的定義域是

（2）由（1）知,,易得在定義域是增函數(shù).

（3）注意到,假設(shè)存在實(shí)數(shù),

使得不等式恒成立,

即恒成立.

由（1）（2）知：即對(duì)于任意, ,即

恒成立,

當(dāng)時(shí)上式成立；

當(dāng)時(shí),令,即對(duì)任意恒成立.

參變分離有,因?yàn)?/span>,故,

又函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增,故

故.