Question

已知函數f（x）=ln（x+

1

x

），且f（x）在x=

1

2

處的切線方程為y=g（x）．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）證明：當x＞0時，恒有f（x）≥g（x）；
（3）證明：若a_i＞0，且

n

i=1

a_i=1，則（a₁+

1

a1

）（a₂+

1

a2

）…（a_n+

1

an

）≥（

n2+1

n

）ⁿ（1≤i≤n，i，n∈N^*）

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數恒成立問題,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用,點列、遞歸數列與數學歸納法,不等式的解法及應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到切線的斜率k=f′(

1

2

)=-

6

5

，再求出f（

1

2

）的值，代入直線方程的點斜式得答案；
（2）令t（x）=f（x）-g（x），求導后得到導函數的零點，進一步得到函數的極小值點，求得t(x)min=t(

1

2

)=0說明ln(x+

1

x

)≥-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；
（3）由（1）知f′(

1

n

)=

n-n3

1+n2

，求出f（x）在(

1

n

，ln(n+

1

n

))處的切線方程，然后證明f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，得到
ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

1+n2

ai-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，進一步得到

n

i=1

ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

n2+1

n

i=1

ai-

n(1-n2)

1+n2

+nln(n+

1

n

)=nln(n+

1

n

)，則結論得證．

解答： （1）解：由f（x）=ln（x+

1

x

），得f′(x)=

x

x2+1

(1-

1

x2

)=

x2-1

x3+x

，
∴切線的斜率k=f′(

1

2

)=-

6

5

．
又f（

1

2

）=ln

5

2

，
∴f（x）在x=

1

2

處的切線方程為y-ln

5

2

=-

6

5

(x-

1

2

)，即y=g（x）=-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；

（2）證明：令t（x）=f（x）-g（x）=ln(x+

1

x

)+

6

5

x-

3

5

-ln

5

2

(x＞0)，
∵t′(x)=

x2-1

x3+x

+

6

5

=

(x- 1 2 )(6x2+8x+10)

5(x3+x)

．
∴當0＜x＜

1

2

時，t′（x）0，
∴t(x)min=t(

1

2

)=0．
故t（x）≥0，即ln(x+

1

x

)≥-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；

（3）證明：由（1）知，f′(

1

n

)=

n-n3

1+n2

，
故f（x）在(

1

n

，ln(n+

1

n

))處的切線方程為y-ln(n+

1

n

)=

n-n3

n2+1

(x-

1

n

)，
即y=

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)．
先證f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，
令h（x）=ln(x+

1

x

)-

n-n3

n2+1

x+

1-n2

1+n2

-ln(n+

1

n

)（x＞0），
∵h′(x)=

x2-1

x3+x

-

n-n3

n2+1

=

(n3-n)x3+(n2+1)x2+(n3-n)x-n2-1

(n2+1)(x3+x)

=

(x- 1 n )[(n3-n)x2+2n2x+n3+n]

(x3+x)(n2+1)

．
∴0＜x＜

1

n

時h′（x）0．
∴h(x)min=h(

1

n

)=0．
∴f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)，
∵a_i＞0，
∴ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

1+n2

ai-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)．
∴

n

i=1

ln(ai+

1

ai

)≥

n-n3

n2+1

n

i=1

ai-

n(1-n2)

1+n2

+nln(n+

1

n

)=nln(n+

1

n

)．
∴（a₁+

1

a1

）（a₂+

1

a2

）…（a_n+

1

an

）≥（

n2+1

n

）ⁿ ．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，對于（3）的證明，關鍵在于對f(x)≥

n-n3

n2+1

x-

1-n2

1+n2

+ln(n+

1

n

)的證明，體現了數學轉化思想方法，本題對于學生的計算能力要求過高，是難度較大的題目．