Question

甲,乙兩地相距s km,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過每小時c km,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(km/h)的平方成正比,比例系數為b,固定部分為a元.

(1)將全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數,并指出該函數的定義域.

(2)為使全程運輸成本最少,汽車應以多大速度行駛?

Answer 1

思路分析:題意中給出的是每小時的運輸成本,因此要計算全程運輸成本,需要計算全程時間,根據題意,每小時運輸成本的可變部分應為bv²,由題意不難得到全程運輸成本(a+

bv²)=(+bv)s(0＜v≤c),要解決提出的問題,顯然是要求+bv何時取最小值,應想到算術平均數與幾何平均數定理+bv≥2=2(當且僅當=bv,即v=時取“=”),但這里的v的取值是有限制的,至于v能否取到,這要視與c的大小而定,顯然要對c的大小進行討論,討論時要注意c與的大小.

解:(1)依題意知,汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,因此全程運輸成本為y=(a+bv²)·

=(+bv)s.?

又據題意0＜v≤c,故所求函數及定義域為

y=(+bv)s,v∈(0,c］.?

(2)∵s,a,b,v都是正數,?

∴(+bv)s≥2s(當且僅當=bv,即v=時取“=”).?

∴①若≤c,則v=時全程運輸成本最少.?

②若＞c,∵(+bv)s-(+bc)s=(c-v)(a-bcv)及c-v≥0,且a＞bc²,?

即a-bcv≥a-bc²＞0,?

∴(+bv)s≥(+bc)s(當且僅當v=c時取“＝”).

∴v=c時,全程運輸成本最少.