Question

一船由甲地逆水勻速行駛到乙地，甲乙兩地相距s(千米)，水速為常量p(千米/小時(shí))，船在靜水中的最大速度為q(千米/小時(shí))，且p＜q.已知船每小時(shí)的燃料費(fèi)用(元)與船在靜水中速度v(千米/小時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為k.

（1）把全程燃料費(fèi)用y(元)表示為靜水中的速度v(千米/小時(shí))的函數(shù)，并指出其定義域.

（2）為了使全程燃料費(fèi)用最小，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？

Answer 1

思路分析：由題意，全程燃料費(fèi)由每小時(shí)的費(fèi)用及航程時(shí)間來(lái)決定，所以應(yīng)先找出每小時(shí)的燃料費(fèi)用及全程航行時(shí)間，而第（2）問(wèn)是求最值問(wèn)題.是否需用基本不等式，要注意適用的條件，尤其是第（1）問(wèn)的定義域，水速應(yīng)小于船的最小速度，所以定義域應(yīng)是（p,q］.因此，本題若基本不等式的“=”號(hào)能滿足即可求得結(jié)果，但也存在不能使“=”號(hào)成立的情況，因而，也需用函數(shù)的單調(diào)性求解.

解：（1）由于船每小時(shí)航行的燃料費(fèi)用是kv²，全程航行時(shí)間為，于是全程燃料費(fèi)用y=kv²·,

故所求函數(shù)是y=ks·(p＜v≤q),定義域是（p,q］.

（2）y=ks·=ks［(v+p)+］

=ks［v-p++2p］≥ks［+2p］=4ksp.

其中取“=”的充要條件是

v-p=,即v=2p.

①當(dāng)v=2p∈(p,q］,

即2p≤q時(shí)，y_min=f(2p)=4ksp.

②當(dāng)2p?(p,q］,即2p＞q.

任取v₁,v₂∈(p,q］且v₁＜v₂, 則

y₁-y₂=ks［(v₁-v₂)+()］

=［p²-(v₁-p)(v₂-p)］.

而p²-(v₁-p)(v₂-p)＞p²-(q-p)(q-p)

=q(2p-q)＞0.

∴y₁-y₂＞0.

故函數(shù)y在區(qū)間（p,q］內(nèi)遞減，此時(shí)y(v)≥y(q).

即y_min=y(q)=ks.

    此時(shí)，船的前進(jìn)速度等于q-p.

    故為使全程燃料費(fèi)用最小，當(dāng)2p≤q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為2p-p=p(千米/小時(shí))；當(dāng)2p＞q時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度為q-p（千米/小時(shí)）.