Question

14．若函數y=x³-ax²+4在（1，3）內單調遞減，則實數a的取值范圍是$[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 對a進行討論，判斷f（x）的單調性求出f（x）的減區間，令（1，3）為減區間的子集即可得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0得x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
若$\frac{2a}{3}$≤0，即a≤0，則當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）上為增函數，不符合題意；
若$\frac{2a}{3}$＞0，即a＞0，則當1＜x＜$\frac{2a}{3}$時，f′（x）＜0，當x＞$\frac{2a}{3}$時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，$\frac{2a}{3}$）上單調遞減，在（$\frac{2a}{3}$，+∞）上低調遞增，
∵f（x）在（1，3）內單調遞減，
∴3≤$\frac{2a}{3}$，解得a≥$\frac{9}{2}$．
故答案為：$[\frac{9}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，屬于中檔題．