Question

點(diǎn)M(x，y)與定點(diǎn)(3，0)的距離和它到定直線l：x=的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡.

Answer 1

思路分析：本題主要考查橢圓的第二定義.在解決一類“一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)(0,1)內(nèi)常數(shù)e”的問(wèn)題時(shí)，根據(jù)第二定義解題很方便.

解：如下圖設(shè)d是點(diǎn)M到直線l：x=的距離，根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡就是集合P={M|}.

由此得.

將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得16x²+25y²=400，即=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、8的橢圓.

    深化升華 橢圓=1的離心率為e=.通過(guò)此例可以看出橢圓=1上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F(3，,0)的距離與M到直線l：x=的距離的比值為離心率e.一般地，點(diǎn)M(x，y)與定點(diǎn)F(c，0)的距離和它到定直線l：x=的距離的比是常數(shù)(a＞c＞0)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓，方程為=1(b²=a²-c²).

因此，橢圓可以看作動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與它到定直線的距離的比為常數(shù)e(0＜e＜1)的M的軌跡.這就是橢圓的第二定義.