Question

已知過點P（﹣2，﹣2）作圓x²+y²+Dx﹣2y﹣5=0的兩切線關于直線x﹣y=0對稱，設切點分別有A、B，求直線AB的方程．

Answer 1

解：由題意可知，圓的圓心在直線x﹣y=0上，或在過P（﹣2，﹣2）
且與直線x﹣y=0垂直的直線上，圓的圓心坐標為（﹣，1），
（1）若圓心在直線x﹣y=0上，
則﹣﹣1=0，解得D=﹣2，
此時圓的方程為：x²+y²﹣2x﹣2y﹣5=0①；
又以（1，1），（﹣2，﹣2）為直徑的圓的方程為：
（x﹣1）（x+2）+（y﹣1）（y+2）=0，
即x²+y²+x+y﹣4=0②，
∴由①②可得故直線AB方程為：3x+3y+1=0；
（2）若圓心在過P（﹣2，﹣2）且與直線x﹣y=0垂直的直線上，
則圓心所在的直線l?的方程為：y﹣（﹣2）=﹣[x﹣（﹣2）]，
即x+y+4=0，
∵圓心坐標（﹣，1），故﹣+1+4=0，
解得D=10，故圓心坐標為（﹣5，1），
∴圓的方程為：x²+y²+10x﹣2y﹣5=0，
即（x+5）²+（y﹣1）²=21，
而得點P（﹣2，﹣2）在圓內，故無切線方程；
綜上所述，直線AB的方程為：3x+3y+1=0．