Question

已知過點P（-2，-2）作圓x²+y²+Dx-2y-5=0的兩切線關于直線x-y=0對稱，設切點分別有A、B，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：過點P（-2，-2）作圓x²+y²+Dx-2y-5=0的兩切線關于直線x-y=0對稱⇒圓的圓心在直線x-y=0上，或在過P（-2，-2）且與直線x-y=0垂直的直線上，分類討論后解答即可．

解答：解：由題意可知，圓的圓心在直線x-y=0上，或在過P（-2，-2）且與直線x-y=0垂直的直線上，
圓的圓心坐標為（-

D

2

，1），
（1）若圓心在直線x-y=0上，則-

D

2

-1=0，解得D=-2，
此時圓的方程為：x²+y²-2x-2y-5=0①；
又以（1，1），（-2，-2）為直徑的圓的方程為：（x-1）（x+2）+（y-1）（y+2）=0，即x²+y²+x+y-4=0②，
∴由①②可得故直線AB方程為：3x+3y+1=0；
（2）若圓心在過P（-2，-2）且與直線x-y=0垂直的直線上，則圓心所在的直線l′的方程為：y-（-2）=-[x-（-2）]，即x+y+4=0，
∵圓心坐標（-

D

2

，1），故-

D

2

+1+4=0，解得D=10，故圓心坐標為（-5，1），
∴圓的方程為：x²+y²+10x-2y-5=0，即（x+5）²+（y-1）²=21，而得點P（-2，-2）在圓內，故無切線方程；
綜上所述，直線AB的方程為：3x+3y+1=0．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，易錯點在于①忽視圓心在直線x-y=0上，②當圓心在x+y+4=0上時，點P（-2，-2）在圓內，故無切線，著重考查分類討論思想與轉化思想，屬于中檔題．