Question

（2013•太原一模）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知過點(diǎn)P（-2，-4）的直線L的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直線L與曲線C分別交于M，N．
（Ⅰ）寫出曲線C和直線L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）消去參數(shù)可得直線l的普通方程，曲線C的方程可化為ρ²sin²θ=2aρcosθ，從而得到y(tǒng)²=2ax．
（II）寫出直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，由|BC|²=|AB|，|AC|，代入可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化可得，C：ρsin²θ=2acosθ⇒ρ²sin²θ=2aρcosθ，
即 y²=2ax，
直線L的參數(shù)方程為：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去參數(shù)t得：直線L的方程為y+4=x+2即y=x-2（3分）

（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），
代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
則有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)…（8分）
因?yàn)閨MN|²=|PM|•|PN|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1•t2=t1•t2
即：[2

2

（4+a）]²-4×8（4+a）=8（4+a）
解得 a=1…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是一道基礎(chǔ)題．