Question

（2006•東城區一模）已知函數f(x)=|1-

1

x

|， (x＞0)．
（1）當0＜a＜b且f（a）=f（b）時，求證：ab＞1；
（2）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（a）=f（b），推得0＜a＜1＜b，且

1

a

+

1

b

=2，再利用基本不等式即可得到結論．
（2）先假設存在滿足條件的實數a，b，由于f（x）是絕對值函數，則分當a，b∈（0，1）時、a∈（0，1）且b∈[1，+∞）和a，b∈[1，+∞）時三種情況分析，即可得到正確結論．

解答：解：（1）f（a）=f（b）得|1-

1

a

|=|1-

1

b

|，1-

1

a

=±(1-

1

b

)，得a=b（舍）或

1

a

+

1

b

=2
∴2=

a+b

ab

≥

2 ab

ab

=

2

ab

，∴

ab

≥1
∵a≠b，∴等號不可以成立，故ab＞1…..…（5分）
（2）不存在.f(x)=

1- 1 x  x≥1 1 x -1 x＜1

，
①當a，b∈（0，1）時，f(x)=

1

x

-1在（0，1）上單調遞減，可得

f(a)=b f(b)=a

∴

1 a -1=b 1 b -1=a

，

1

a

-

1

b

=b-a得b=

1

a

，-1=0矛盾
②當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，顯然1∈[a，b]，而f（1）=0，則0∈[a，b]矛盾
③當a，b∈[1，+∞)，f(x)=1-

1

x

在（1，+∞）上單調遞增，可得

f(a)=a f(b)=b

∴

1- 1 a =a 1- 1 b =b

，a，b是方程1-

1

x

=x的兩個根，此方程無解； …（11分）

點評：本題主要考查絕對值函數的單調性、定義域和值域，同時還考查學生的分類討論解決問題的能力．