Question

設(shè)f（x）的定義域為D，若f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，則稱f（x）為“倍縮函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=ln（e^x+t）為“倍縮函數(shù)”，則t的范圍是（　　）

• A、（

  1

  4

  ，+∞）
• B、（0，1）
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（0，

  1

  4

  ）

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，且是增函數(shù)；可得

ln(ea+t)= a 2 ln(eb+t)= b 2

，可以轉(zhuǎn)化為方程e^x-e

x

2

+t=0有兩個不等的實根，且兩根都大于0的問題，從而求出t的范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=ln（e^x+t）為“倍縮函數(shù)”，
且滿足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[

a

2

，

b

2

]，
∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴

ln(ea+t)= a 2 ln(eb+t)= b 2

，
即

ea+t=e a 2 eb+t=e b 2

；
∴方程e^x-e

x

2

+t=0有兩個不等的實根，且兩根都大于0；
即

(-1)2-4t＞0 t＞0

，
解得0＜t＜

1

4

；
∴滿足條件的t的范圍是（0，

1

4

）；
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)的值域問題，解題時應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有不同二交點，利用方程解決，是中檔題．