Question

已知數列{a_n}滿足a₁=4，a_n+1=

3an+2

an+4

．求a_n．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：由數列遞推式得到

an+1+2 an+1-1

an+2 an-1

=

5

2

，求得

a1+2

a1-1

=

4+2

4-1

=2．得到數列{

an+2

an-1

}構成以2為首項，以

5

2

為公比的等比數列，由等比數列的通項公式得答案．

解答： 解：由a_n+1=

3an+2

an+4

，得

an+1+2

an+1-1

=

3an+2 an+4 +2

3an+2 an+4 -1

=

5an+10 an+4

2an-2 an+4

=

5(an+2)

2(an-1)

．
∴

an+1+2 an+1-1

an+2 an-1

=

5

2

．
由a₁=4，得

a1+2

a1-1

=

4+2

4-1

=2．
∴數列{

an+2

an-1

}構成以2為首項，以

5

2

為公比的等比數列，
則

an+2

an-1

=2•(

5

2

)n-1，
∴an=

2•( 5 2 )n-1+2

2•( 5 2 )n-1-1

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等比關系的確定，解答此題的關鍵在于等比數列的構造，是中檔題．