Question

如圖，某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向東北方OB，現(xiàn)要修建一條鐵路L，L在AO上設(shè)一站A，在OB上設(shè)一站B，鐵路在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10千米，問把A、B分別設(shè)在公路中心O多遠處才能使|AB|最短，并求其最短距離.

Answer 1

解:設(shè)AO=a,OB=b.

∵AO在正西方向,OB在東北方向,

∴∠AOB=135°,|AB|²=a²+b²+ab≥(2+)ab,(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立)

又O到AB的距離為10,設(shè)∠OAB=α,

則∠OBA=45°-α.

∴a=,b=,

ab=

=≥,

(α=22°30′,且α≠b時,等號成立).

∴|AB|²≥=400(+1)²,

因此當(dāng)a=b==10時,|AB|最小,其最短距離為20(+1)千米.