Question

如圖，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北OB，現要修一條地鐵L，在OA上設一站，在OB上設一站，地鐵在AB部分為直線段，現要求市中心O與AB的距離為10km，設地鐵在AB部分的總長度為ykm．
（1）按下列要求建立關系式：
（i）設∠OAB=α，將y表示為α的函數；
（ii）設OA=m，OB=n，用m，n表示y；
（2）把A，B兩站分別設在公路上離中心O多遠處，才能使AB最短，并求出最短距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）（i）過O作OH⊥AB于H，則由及直角三角形的三角關系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可
（ii） 由等面積原理得，可求AB
（2）選擇方案一：結合正弦函數的性質可求AB的最小值
選擇方案二：由余弦定理得=，結合基本不等式可求AB的最小值
解答：解：（1）（i）過O作OH⊥AB于H
由題意得，
且
即AH=10cotα…（2分）
即…（4分）
∴==…（8分）
（ii） 由等面積原理得，即…（10分）
（2）選擇方案一：當時，…（12分）
此時，而
所以．                         …（14分）
選擇方案二：因為，
由余弦定理得=
∴…（12分）
即（當且僅當時取等號）…（14分）
點評：本題主要考查了解三角形在實際問題中的應用，綜合考查了基本不等式的知識，解題的關鍵是合理的把實際問題轉化為數學問題