Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3，求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，解方程，即可得到a，再由圖象過原點(diǎn)，可得b=0；
（2）由題可知f′（x）≤0對(duì)0＜x＜2恒成立．運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求法，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，得b=0，
又f′（x）=3x²+6x-a（a+2），
f（x）在原點(diǎn)處的切線斜率是-3，
則-a（a+2）=-3，
所以a=-3，或a=1．
則有a=-3或1，b=0；
（2）由題可知f′（x）≤0對(duì)0＜x＜2恒成立．
即3x²+6x-a（a+2）≤0，
即有3x²+6x≤a（a+2），對(duì)0＜x＜2恒成立，
由于3x²+6x=3（x+1）²-3∈[-3，24），
∴a（a+2）≥24
∴a≥4或a≤-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，考查不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．