Question

17．已知函數f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）存在一條切線與直線y=x平行，求a的取值范圍；
（2）當0＜a＜2時，若f（x）在[a，2]上的最大值為-$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a的函數式，根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的最大值，得到關于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
若曲線y=f（x）存在一條切線與直線y=x平行，
則$\frac{1}{x}$-a=1，即a=$\frac{1}{x}$-1有解，
由x＞0，得：a＞-1；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
①2≤$\frac{1}{a}$即0＜a≤$\frac{1}{2}$時，
f（x）在[a，2]遞增，f（x）_max=f（2）=ln2-2a=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{1}{2}$ln2+$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{2}$（舍）；
②a＜$\frac{1}{a}$＜2即$\frac{1}{2}$＜a＜1時，
f（x）在[a，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，2]遞減，
故f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{e}}{e}$，
③$\frac{1}{a}$≤a，即1≤a＜2時，
f（x）在[a，2]遞減，f（x）_max=f（a）=lna-a²=-$\frac{1}{2}$，
函數n（a）=lna-a²，a∈[1，2），n′（a）=$\frac{1}{a}$-2a遞減，n′（1）=-1＜0，
故n（a）在[1，2）遞減，n（a）＜n（1）=-1＜-$\frac{1}{2}$，
故方程lna-a²=-$\frac{1}{2}$無解；
綜上a=$\frac{\sqrt{e}}{e}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．