Question

已知對任意正實數x，y，（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9恒成立，則正實數a的最小值為（　　）

• A、8
• B、6
• C、4
• D、2

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：由a，x，y＞0，可得（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，由于對任意正實數x，y，（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9恒成立，因此1+a+2

a

≥9，解出即可．

解答： 解：∵a，x，y＞0，
∴（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，當且僅當y=

a

x時取等號．
∵對任意正實數x，y，（x+y）（

1

x

+

a

y

）≥9恒成立，
∴1+a+2

a

≥9，
化為(

a

)2+2

a

-8≥0，
變為(

a

+4)(

a

-2)≥0，
解得

a

≥2，∴a≥4．
∴a的最小值為4．
故選：C．

點評：本題考查了基本不等式的性質、一元二次不等式的解法，考查了恒成立問題的轉化方法，考查了計算能力，屬于基礎題．