Question

設點P（x，y）滿足條件

x≤0 y≥0 y≤2x+2

，點Q（a，b）滿足

OP

•

OQ

≤1恒成立，其中O是原點，a≤0，b≥0，則Q點的軌跡所圍成圖形的面積是（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．2
• D．4

Answer 1

分析：由已知中在平面直角坐標系中，點P（x，y），則滿足

OP

•

OQ

≤1的點Q的坐標滿足

-a≤1 2b≤1 a≤0，b≥0

，畫出滿足條件的圖形，即可得到點Q的軌跡圍成的圖形的面積．

解答：解：∵

OP

•

OQ

≤1，
∴ax+by≤1，
∵作出點P（x，y）滿足條件

x≤0 y≥0 y≤2x+2

的區域，如圖，

OP

•

OQ

≤1即ax+by≤1，
且點Q（a，b）滿足

OP

•

OQ

≤1恒成立，
只須點P（x，y）在可行域內的角點處：A（1，0），B（0，2），ax+by≤1成立即可，
∴

-a≤1 2b≤1 a≤0，b≥0

即

a≥-1 b≤ 1 2 a≤0，b≥0

它表示一個長為1寬為

1

2

的矩形，其面積為：

1

2

，
故選A．

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．