【題目】如圖，港口
在港口
的正東120海里處，小島
在港口的北偏東
的方向，且在港口北偏西
的方向上，一艘科學考察船從港口出發，沿北偏東的
方向以20海里/小時的速度駛離港口.一艘給養快艇從港口以60海里/小時的速度駛向小島，在島轉運補給物資后以相同的航速送往科考船.已知兩船同時出發，補給裝船時間為1小時.
（1）求給養快艇從港口到小島的航行時間；
（2）給養快艇駛離港口后，最少經過多少小時能和科考船相遇？
【答案】（1）快艇從港口
到小島
的航行時間為
小時（2）給養快艇駛離港口后，最少經過3小時能和科考船相遇
【解析】
（1）給養快艇從港口到小島的航行時間，已知其速度，則只要求得
的路程，再利用路程公式即可求得所需的時間．
（2）由（1）知，給養快艇從港口駛離2小時后，從小島出發與科考船匯合，根據題意確定各邊長和各角的值，然后由余弦定理解決問題．
（1）由題意知，在
中，
，
，
，
所以
，
于是
，
而快艇的速度為
海里/小時，
所以快艇從港口到小島的航行時間為
小時.
（2）由（1）知，給養快艇從港口駛離2小時后，從小島出發與科考船匯合.為使航行的時間最少，快艇從小島駛離后必須按直線方向航行，
設給養快艇駛離港口
小時后恰與科考船在
處相遇.
在中，
，
而在
中，
，
，
，
由余弦定理，得
，
即
，
化簡，得
，
解得
或
（舍去）.
故
.
即給養快艇駛離港口后，最少經過3小時能和科考船相遇.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中，正確的是（ ）
A. 命題“若
，則
”的逆命題是真命題
B. 命題“存在
”的否定是：“任意
”
C. 命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題
D. 已知
，則“
”是“
”的充分不必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方體
的棱長為a，
分別是棱
、
的中點，過點的平面分別與棱
、
交于點
，設
，
，給出以下四個命題：
（1）平面
與平面
所成角的最大值為
；
（2）四邊形的面積的最小值為
；
（3）四棱錐
的體積為
；
（4）點
到平面的距離的最大值為
，
其中正確的個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點F與拋物線
焦點重合，且橢圓的離心率為
，過
軸正半軸一點
且斜率為
的直線
交橢圓于
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在實數
使以線段
為直徑的圓經過點
，若存在，求出實數的值；若不存在說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電視臺為宣傳本省，隨機對本省內15～65歲的人群抽取了
人，回答問題“本省內著名旅游景點有哪些”統計結果如圖表所示.
組號 | 分組 | 回答正確的人數 | 回答正確的人數占本組的頻率 |
第1組 |
|
|
|
第2組 |
| 18 |
|
第3組 |
|
|
|
第4組 |
|
|
|
第5組 |
|
|
|
（1）分別求出
的值；
（2）從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2、3、4組每組各抽取多少人？
（3）指出直方圖中，這組數據的中位數是多少（取整數值）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l：y=kx+m與橢圓
+
=1（a＞b＞0）恰有一個公共點P，l與圓x2+y2=a2相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求m（用a，b，k表示）；
（Ⅱ）當k=-
時，△AOB的面積的最大值為a2，求橢圓的離心率．
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