Question

【題目】已知直線l：y=kx+m與橢圓+=1（a＞b＞0）恰有一個公共點P，l與圓x2+y2=a2相交于A，B兩點．

（Ⅰ）求m（用a，b，k表示）；

（Ⅱ）當k=-時，△AOB的面積的最大值為a2，求橢圓的離心率．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=±; （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據題意，聯立直線與橢圓的方程，變形可得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，由直線與橢圓的位置關系可得△=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，整理變形可得答案；

（Ⅱ）根據題意，求出原點O到直線l的距離，變形可得，結合橢圓的離心率公式分析可得答案．

解：（Ⅰ）根據題意，直線l與橢圓恰有一個公共點P，即相切；

則有，得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，

則△=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，

化簡整理，得m2=a2k2+b2；m=±，

（Ⅱ）因為當時，△OAB的面積取到最大值，

此時OA⊥OB，從而原點O到直線l的距離，

又，故；

再由（I），得，則．

又，故，即，

從而，即．