Question

從一批有10件合格品與3件次品的產品中，一件一件地抽取產品，設各件產品被抽取到的可能性相同，在下列兩種情況下，分別求出直到取到合格品為止所需抽取的次數X的分布列．
（1）每次取出的產品都不放回該批產品中；
（2）每次取出的產品都立即放回該批產品中．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）若每次取出的產品都不放回該批產品中，則X的取值可能為：1，2，3，4，依次計算出X=1，2，3，4時的概率，可得抽取次數X的分布列．
（2）若每次取出的產品都放回該批產品中，則X的取值可能為：1，2，3，4，…，依次計算出X=1，2，3，…，n，…時的概率，可得抽取次數X的分布列．

解答： 解：（1）若每次取出的產品都不放回該批產品中，
則X的取值可能為：1，2，3，4，
P（X=1）=

10

13

，
P（X=2）=

3

13

•

10

12

=

5

26

，
P（X=3）=

3

13

•

2

12

•

10

11

=

5

143

，
P（X=4）=

3

13

•

2

12

•

1

11

•

10

10

=

1

286

，
∴X的分布如下：

X	1	2	3	4
P	10 13	5 26	5 143	1 286

（2）若每次取出的產品都立即放回該批產品中．
則X的取值可能為：1，2，3，4，…
P（X=1）=

10

13

，
P（X=2）=

3

13

•

10

13

=

3×10

132

，
P（X=3）=

3

13

•

3

13

•

10

13

=

32×10

133

，
…
P（X=n）=

3

13

•

3

13

•…•

3

13

•

10

13

=

3n-1×10

13n

，
∴X的分布如下：

X	1	2	3	…	n	…
P	10 13	3×10 132	32×10 133	…	3n-1×10 13n	…

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列，屬中檔題．