Question

已知拋物線y²=4x內一定點E（m，0），（m＞0），過點E作斜率分別為k₁，k₂的兩條直線，交拋物線于A、B和C、D，且M，N分別是線段AB、CD的中點．
（1）若m=1，k₁=

3

時，求弦|AB|的長度；
（2）若k₁+k₂=1，判斷直線MN是否過定點？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）通過m=1，k₁=

3

時，利用拋物線的性質|AB|=x₁+x₂+p，聯立方程組利用韋達定理求解弦|AB|的長度即可．
（2）設出AB的方程，聯立方程組，利用k₁+k₂=1，求出M、N的坐標，求出MN的斜率，推出MN的直線方程，即可求出直線MN恒過定點．

解答： 解：（1）當m=1，則E（1，0）為拋物線焦點，即AB為拋物線的一條焦點弦，
k1=

3

設AB：y=

3

(x-1)，則|AB|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2
聯立：

y= 3 (x-1) y2=4x

得：3x²-10x+3=0∴x1+x2=

10

3

則|AB|=x₁+x₂+2=

16

3

（2）設AB：y=k₁（x-m）
聯立：

y=k1(x-m) y2=4x

得：k1y2-4y-4mk1=0，
則M為（

2

k 2 1

+m，

2

k1

）  同理：N為（

2

k 2 2

+m，

2

k2

）
若k₁+k₂=1，則M為（

2

k 2 1

+m，

2

k1

）  N為（

2

k 2 2

+m，

2

k2

），k_MN=

2 k2 - 2 k1

2 k 2 2 - 2 k 2 1

=

k1k2

k1+k2

=k1k2
直線MN為：y-

2

k1

=k1k2[x-(

2

k 2 1

+m)]化為：y=k₁k₂（x-m）+2，
顯然直線恒過點（m，2）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，直線系方程的應用，考查轉化思想以及計算能力．