Question

（本小題滿分13分）已知函數，．

（Ⅰ）若，對于任意的，求證：；

（Ⅱ）若函數在其定義域內不是單調函數，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 當時，，對函數進行求導，求出函數的單調區間，即可求出函數的最小值，又由于，，即可得到結論；（Ⅱ）由，設．令，即，設函數．求出的解為．然后再利用導數 求出函數的單調區間和函數的極值，即可求出結果．

試題解析：【解析】
(Ⅰ) 當時，，．

令，解得．

當時，，所以函數在是減函數；

當時，，所以函數在為增函數．

所以函數在處取得最小值，．

因為，，所以對任意，都有．

即對任意，． 6分

（Ⅱ）函數的定義域為．

又,設．

令，即，設函數．

令，則．

當時，，所以在上是減函數；

當時，，所以在上是增函數；

所以．則時，．

于是，當時，直線與函數的圖象有公共點，

即函數至少有一個零點，也就是方程至少有一個實數根．

當時，有且只有一個零點，

所以恒成立，函數為單調增函數，不合題意，舍去．

即當時，函數不是單調增函數．

又因為不恒成立，

所以為所求． 13分．

考點： 1．利用導數研究函數的單調性．2．導數在證明不等式中的應用．