已知a，b，c∈R，函數f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，當-1≤x≤1時，|f（x）|≤1，
求證：①|c|≤1．
②當-1≤x≤1時，|g（x）|≤2．
【答案】分析：①中因為C為函數解析式的常數項，則C=f（0），由些證明C的范圍可轉化為f（0）的范圍
②中由于a值不確定，因此要對a進行分類討論，分類標準為a與0的關系；在每種情況中結合g（x）的單調性與①中結論不難給出結論．
注意：分類討論后一定要有總結的過程，此步驟雖無實際作用，但不可缺少．
解答：證明：①∵當-1≤x≤1時，|f（x）|≤1，
令x=0得|c|=|f（0）|≤1，即|c|≤1．②當a＞0時，g（x）=ax+b在[-1，1]上是增函數，
∴g（-1）≤g（x）≤g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（1）=a+b=f（1）-c≤|f（1）|+|c|≤2，
g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≥-（|f（-1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
同理 當a＜0時，g（x）=ax+b在[-1，1]上是減函數，
∴g（-1）≥g（x）≥g（1），
又∵|f（x）|≤1（-1≤x≤1），|c|≤1，
∴g（-1）=-a+b=-f（-1）+c≤|f（-1）|+|c|≤2，
g（1）=a+b=f（1）-c≥-（|f（1）|+|c|）≥-2，
由此得|g（x）|≤2；
當a=0時，g（x）=b，f（x）=bx+c．
∵-1≤x≤1，
∴|g（x）|=|f（1）-c|≤|f（1）|+|c|≤2．
綜上得|g（x）|≤2．
點評：在高中階段由于研究函數的角度與初中階段相比有所變化，因此同樣對二次函數來說，高中研究的主要是二次函數性質的應用，如單調性、對稱性等，因此解決此類問題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質，并注意和方程思想、分類討論思想、轉化思想、數形結合思想等高中重要數學思想之間的緊密聯系．
