Question

（本小題滿分12分）已知二次函數.

（1）若，且對任意實數均有，求的表達式；

（2）在（1）的條件下，當時，設，求g（x）最小值.

Answer 1

（1）,

（2）若時，當時，取得最小值；

若時，當時，取得最小值；

若時，當時，取得最小值；

【解析】

試題分析：第一問：二次函數的圖像是開口向上的拋物線，要求對任意實數均有，只需要求拋物線與軸無交點或一個交點，即.第二問是求含參二次函數的最大值與最小值問題，由于二次項系數為1，開口向上，對稱軸的位置與有關，所以針對對稱軸的三種不同位置加以分類研究，求出相應的最小值。

試題解析：（1）[法一]依題意有得：.......?，

又因為對任意實數都成立，說明二次函數的圖象拋物線的開口向上，與軸相離或相切，即........?，把?代入?得：，即：，所以只能；這時.則

[法二]依題意有得：.......?，

又的最小值為，又因為對任意實數都有成立，則，，即.........?,

將?代入?得：，則

因為，所以=

拋物線開口向上，對稱軸方程為

?若，即時，在上是增函數，當時，取得最小值

?若，即時，在上是減函數，在上是增函數，

當時，取得最小值；

?若，即時，在上是減函數,當時，取得最小值；

考點：1.一元二次不等式恒成立；2.二次函數的最大值與最小值；3.分類討論思想解題