Question

【題目】數(shù)列滿足遞推式

（1）求a1，a2，a3；

（2）若存在一個實數(shù)，使得為等差數(shù)列，求值;

（3）求數(shù)列{}的前n項之和.

Answer 1

【答案】（1）a1=5 a2=23（2）（3）

【解析】

（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的各項．

（2）利用等差中項公式求出結(jié)果．

（3）利用分組求和、乘公比錯位相減法求出數(shù)列的和．

（1）數(shù)列{an}滿足遞推公式an=3an﹣1+3n﹣1（n≥2），其中a4=365．

令n=4，則：，解得：a3=95．

令n=3，則：，解得：a2=23．

令n=2，則：，解得：a1=5．

（2）假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使得{}為等差數(shù)列，

則：，

由于：a3=95，a2=23，a1=5，

解得：．

故：把遞推公式an=3an﹣1+3n﹣1（n≥2），轉(zhuǎn)化為：，

則：數(shù)列{}是以為首項，1為公差的等差數(shù)列．

則：，

解得：．

（3）由，

轉(zhuǎn)化為：，

令：，所以：數(shù)列{bn}的前n項和，

Sn=131+232+…+n3n①，

則：3Sn=132+233+…+n3n+1②，

①﹣②得：，

故：，

令：，數(shù)列{cn}的前n項和為Hn

則：Hn==，

所以：數(shù)列{an}的前n項和Tn，

=．