Question

4．已知等比數列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{9}$，a₁+6a₂=1．
（Ⅰ） 求{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （I）利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．
（II）利用對數的運算性質與等差數列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設等比數列{a_n}的公比為q，由題設得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=\frac{1}{9}}\\{{a}_{1}+6{a}_{1}q=1}\end{array}\right.$，解得a₁=q=$\frac{1}{3}$．
∴S_n=$\frac{\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
（II）∵log₃a_n=-n．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．