Question

9．已知AB是圓O的直徑，C為底面圓周上一點，PA⊥平面ABC，
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，C為弧AB的中點，求PB與平面PAC所成的角．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥BC，PA⊥BC；利用直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面PAC．
（2）說明∠CPB為直線PB與平面PAC所成的角．設(shè)圓O的半徑為r，在Rt△PAB中，與在Rt△BCP中，通過求解三角形求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
（1）證明：∵C為圓上一點，AB為直徑，∴AC⊥BC，

又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC；又因為AC∩PA=A，PA?平面PAC，
AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC  …（5分）
（2）解：由（1）可知BC⊥平面PAC，∴PB在平面PAC內(nèi)的射影為PC，
∴∠CPB為直線PB與平面PAC所成的角．
設(shè)圓O的半徑為r，則AB=2r，在Rt△PAB中，PA=AB=2r，
∴PB=2$\sqrt{2}$ r，又因為C為弧AB的中點，∴△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}r$，在Rt△BCP中，sin∠CPB=$\frac{BC}{PB}$=$\frac{{\sqrt{2}r}}{{2\sqrt{2}r}}=\frac{1}{2}$，∴∠CPB=30°，
∴直線PB與平面PAC所成的角為30°．     …（12分）

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．