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求證：ABCD是菱形的充要條件是平行四邊形對角線
AC
⊥
BD
.
分析：要證明ABCD是菱形的充要條件是對角線
AC
⊥
BD
.，我們可先證明ABCD是菱形時，對角線
AC
⊥
BD
.，再證明對角線若
AC
⊥
BD
.，則ABCD是菱形．
解答：證明：若ABCD是菱形
則
|AB
|=
|BC
|=
|CD
|=
|DA
|
則
AC
•
BD
.
=(
AB
+
AD
)•(
AB
-
AD
)
=
AB
2-
AD
2
=|
AB
|2-|
AD
|2=0
即
AC
⊥
BD
.
反之，若
AC
⊥
BD
.
則(
AB
+
BC
)⊥(
BC
+
CD
)
即(
AB
+
BC
)•(
BC
+
CD
)=0
即(
AB
+
AD
)•(
AB
-
AD
)=0
即
|AB
|=
|AD
|
即平行四邊形的兩鄰邊相等
則四邊形為菱形
即ABCD是菱形的充要條件是平行四邊形對角線
AC
⊥
BD
.
點評：要證明平行四邊形為菱形，只要證明平行四邊形的兩鄰邊相等即可．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，點F為PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6
3
，BD=6，PD=3
6
，E、F分別是PB、CB上靠近點B的一個三等分點．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求EF與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，M是PD的中點，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求證：OM∥平面PAB；
（2）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（3）當四棱錐P-ABCD的體積等于
3
時，求PB的長．

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科目：高中數學 來源：2011年高三數學復習（第4章 平面向量）：4.4 向量的夾角與長度（解析版） 題型：解答題

求證：ABCD是菱形的充要條件是平行四邊形對角線

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同步練習冊答案
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