Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BFD；
（Ⅱ）求二面角C-BF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，BD與AC交于點(diǎn)O，連結(jié)OF，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明OF∥PA，再利用線面平行的判定定理證明PA∥平面BFD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCF、平面BFD的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角C-BF-D的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC，BD與AC交于點(diǎn)O，連結(jié)OF．…（1分）
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中點(diǎn)．…（2分）
∵點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，∴OF∥PA．…（3分）
∵OF?平面BFD，PA?平面BFD，∴PA∥平面BFD．…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段BC的垂直平分線所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令PA=AD=AC=1，
則A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(

3

2

，

1

2

，0)，B(

3

2

，-

1

2

，0)，D(0，1，0)，F(

3

4

，

1

4

，

1

2

)．
∴

BC

=(0，1，0)，

BF

=(-

3

4

，

3

4

，

1

2

)．  …（8分）
設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
由

n

⊥

BC

，

n

⊥

BF

，得

y=0 - 3 4 x+ 3 4 y+ 1 2 z=0

，∴

y=0 z= 3 2 x

，
令x=1，則z=

3

2

，∴

n

=(1，0，

3

2

)．…（10分）
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵OF∥PA，∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∵OF∩BD=O，∴AC⊥平面BFD．
∴

AC

是平面BFD的一個(gè)法向量，

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)．
∴cos?

AC

，

n

＞=

AC • n

| AC |•| n |

=

3 2

1+ 3 4 ×1

=

21

7

，
∴二面角C-BF-D的余弦值是

21

7

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．