Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，M是PD的中點，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求證：OM∥平面PAB；
（2）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（3）當四棱錐P-ABCD的體積等于

3

時，求PB的長．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質，證明線線平行，從而可得線面平行；
（2）先證明BD⊥平面PAC，即可證明平面PBD⊥平面PAC；
（3）利用四棱錐P-ABCD的體積等于

3

時，求出四棱錐P-ABCD的高為PA，利用PA⊥AB，即可求PB的長．

解答：（1）證明：∵在△PBD中，O、M分別是BD、PD的中點，∴OM是△PBD的中位線，∴OM∥PB，…（1分）
∵OM?平面PBD，PB?平面PBD，…（3分）
∴OM∥平面PAB．…（4分）
（2）證明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）
∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）
∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）
（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴菱形ABCD的面積為S菱形ABCD=2×

1

2

×AB×AD×sin60°=2×2×

3

2

=2

3

，…（11分）
∵四棱錐P-ABCD的高為PA，∴

1

3

×2

3

×PA=

3

，得PA=

3

2

…（12分）
∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）
在Rt△PAB中，PB=

PA2+AB2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

．…（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．