Question

設F₁、F₂分別雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿足|PF2|=|F1F2|，且cos∠PF1F2=

4

5

，則雙曲線的漸近線方程為（　　）

A．3x±4y=0

B．3x±5y=0

C．4x±3y=0

D．5x±4y=0

Answer 1

分析：利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，從而得出正確答案．

解答：解：依題意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一個等腰三角形，F₂在直線PF₁的投影A是線段PF₁中點，
由勾股定理知可知|PF₁|=2|F₁A|=2|F₁F₂|cos∠PF₁F₂=2×2c×

4

5

=

16c

5

，
根據雙曲定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即

16c

5

-2c=2a，整理得c=

5

3

a，代入c²=a²+b²整理得4b=3a，求得

b

a

=

3

4

∴雙曲線漸近線方程為y=±

3

4

x，即3x±4y=0
故選A．

點評：本題主要考查雙曲線的簡單性質、三角與雙曲線的相關知識點，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．