Question

13．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，D，E分別是被BC，AB的中點，點F在棱CC₁上，AB=BC=CA=CF=2，AA₁=3，則下列說法正確的是（　　）

• A． 設平面ADF與平面BEC₁的交線為l，則直線C₁E與l相交
• B． 在棱A₁C₁上存在點N，使得三棱錐N-ADF的體積為$\frac{\sqrt{3}}{7}$
• C． 設點M在BB₁上，當BM=1時，平面CAM⊥平面ADF
• D． 在棱A₁B₁上存在點P，使得C₁P⊥AF

Answer 1

分析 在A 中，連接CE，連接OF，推導出EC₁∥l；在B中，若存在點N在A₁C₁上，則V_D-AFN最小值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$；在C中，當BM=1時，平面CAM⊥平面ADF；在D中：過C₁作C₁G∥FA，交AA₁于點G，推導出C₁P⊥A₁C₁．

解答 解：在A 中：連接CE，交AD于點O，則O為△ABC重心，
連接OF，由已知得OF∥EC₁，則EC₁∥l，故A錯；
在B中：若存在點N在A₁C₁上，則V_N-ADF=V_D-AFN，
當N與C₁重合時，V_D-AFN取最小值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，故B錯；
在C中：當BM=1時，由題意得△CBM≌△FCD，則∠BCM+∠CDF=90°，
∴CM⊥DF．
又∵AD⊥平面CB₁，∴AD⊥CM，又DF∩AD=D，∴CM⊥平面ADF，
∵CM?平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正確；
在D中：過C₁作C₁G∥FA，交AA₁于點G，
若在A₁B₁上存在點P，使得C₁P⊥AF，則C₁P⊥C₁G，
又C₁P⊥GA₁，∴C₁P⊥平面A₁C₁G₁，∴C₁P⊥A₁C₁，矛盾，故D錯．
故選：C．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．