Question

設函數．

（1）當（為自然對數的底數）時，求的最小值；

（2）討論函數零點的個數；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）當時，函數無零點；當或時，函數有且只有一個零點；當時，函數有兩個零點；（3）

【解析】

試題分析：（1）當時，，令，得，將定義域分段并研究導函數在每段的符號，判斷函數大致圖象，進而求得最小值；（2）由已知得則，進而把問題轉化為判斷函數圖象與軸交點的個數問題，或者參變分離為利用導數研究函數的形狀，研究直線與其交點個數問題即可；（3）通過對不等式恒等變形，研究其蘊含的數學本質，變形為，觀察其結構特征，構造函數，則函數在單調遞增，轉化為恒成立問題處理．

試題解析：（1）由題設，當時，，則， 1分

∴當在上單調遞減，

當，在（）上單調遞增， 2分

∴時，取得極小值

∴的極小值為2． 3分

（2）由題設

令，得 4分

設

則 5分

當時，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減。 6分

∴是的唯一極值點，且是極大直點，因此也是的最大值點，

∴的最大值為 7分

又，結合的圖像，可知

①當時，函數無零點；

②當時，函數有且只有一個零點；

③當時，函數有兩個零點；

④當時，函數有且只有一個零點。 8分

綜上所述，當時，函數無零點；

當或時，函數有且只有一個零點；

當時，函數有兩個零點； 9分

（3）對任意的恒成立，

等價于恒成立（*） 10分

設

∴（*）等價于在上單調遞減． 11分

由在恒成立． 12分

得恒成立， 13分

∴僅在時成立），

∴的取值范圍是 14分

考點：1、利用導數求函數的最值、極值；2、函數的零點；3、利用導數研究函數的單調性．