Question

在數列{a_n}中，a₁=1，對任意n∈N^*，都有

a

n+1

=

a   n

2 a   n +1

，

b

n

=

1

a   n

．
（Ⅰ）證明：數列{b_n}為等差數列，并求出a_n；
（Ⅱ）設數列{a_n•a_n+1}的前n項和為T_n，求證：

T

n

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=

2an+1

an

-

1

an

=2，由此能證明數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，從而求出a_n=

1

2n-1

．
（Ⅱ）由a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能證明

T

n

＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）證明：∵在數列{a_n}中，a₁=1，
對任意n∈N^*，都有

a

n+1

=

a   n

2 a   n +1

，

b

n

=

1

a   n

．
b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=

2an+1

an

-

1

an

=2，
又b1=

1

a1

=1，
∴數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴b_n=2n-1，
∴

1

an

=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

．
（Ⅱ）解：∵a_n•a_n+1=

1

2n-1

•

1

2n+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

-

1

2(2n+1)

＜

1

2

，
∴

T

n

＜

1

2

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．