Question

若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)?/span>“相似橢圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：＝1，A1，A2分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn)．橢圓C2以線段A1A2為短軸且與橢圓C1為“相似橢圓”．

(1)求橢圓C2的方程；

(2)設(shè)P為橢圓C2上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓C1于點(diǎn)H.求證：H為△PA1A2的垂心．(垂心為三角形三條高的交點(diǎn))

 

Answer 1

（1）＝1（2）見解析

【解析】(1)由題意可知A1(－，0)，A2(，0)，

橢圓C1的離心率e＝.(3分)

設(shè)橢圓C2的方程為＝1(a＞b＞0)，則b＝.

因?yàn)?/span>＝，所以a＝2.

所以橢圓C2的方程為＝1.(6分)

(2)設(shè)P(x0，y0)，y0≠0，則＝1，從而＝12－2

將x＝x0代入＝1得＝1，從而y2＝3－＝，即y＝±.

因?yàn)?/span>P，H在x軸的同側(cè)，所以取y＝，即H(x0，)．(12分)

所以kA1P·kA2H＝＝－1，從而A1P⊥A2H.

又因?yàn)?/span>PH⊥A1A2，所以H為△PA1A2的垂心．(16分)