Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1） 關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求的取值范圍；

（2） 當(dāng)時(shí)， 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的取值范圍為；(2) 的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）方程在一個(gè)區(qū)間上有解，可以轉(zhuǎn)化為有解，研究該函數(shù)的單調(diào)性和圖像使得常函數(shù)和該函數(shù)有交點(diǎn)即可。（2）該題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)， 恒成立，令研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和最值即可。

（1）方程即為

令

則．

∴當(dāng)時(shí)， 隨變化情況如下表：

	1				3
		+	0	-
		↗	極大值	↘

∵， ， ，

∴當(dāng)時(shí)， ，

∴的取值范圍為

（2）依題意，當(dāng)時(shí)， 恒成立

令,

則

令,則當(dāng)時(shí)， ，

∴函數(shù)在上遞增，∵, ，

∴存在唯一的零點(diǎn)，

且當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

則當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .

∴在上遞減，在上遞增，從而.

由得，兩邊取對數(shù)得，

∴，∴，∴

即實(shí)數(shù)的取值范圍為.