Question

如圖，在三棱錐中，直線平面，且

，又點，，分別是線段，，的中點，且點是線段上的動點.

(1)證明：直線平面；

(2)若，求二面角的平面角的余弦值.

 

Answer 1

(1)參考解析；(2)

【解析】

試題分析：（1）點，，分別是線段，，的中點所以,平面PAC.所以平面PAC.同理證明MN平面PAC.又由于.所以平面QMN平面PAC.又平面QMN.所以直線平面.

（2）根據已知條件建立坐標系，寫出關鍵點的坐標，并寫出相應的向量，計算平面QAN與MAN的法向量，求法向量的夾角，即可得到結論.

試題解析：（1）.連結QM因為點，，分別是線段，，的中點

所以QM∥PAMN∥ACQM∥平面PACMN∥平面PAC

因為MN∩QM=M所以平面QMN∥平面PACQK平面QMN

所以QK∥平面PAC··············7分

（2）方法1：過M作MH⊥AN于H，連QH，則∠QHM即為

二面角的平面角,令即QM=AM=1所以

此時sin∠MAH=sin∠BAN=MH=記二面角的平面角為

則tan=COS=即為所求。···········14分

方法2：以B為原點，以BC、BA所在直線為x軸y軸建空間直角坐標系，設

則A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),

=(0,-1,1),

記，則

取

又平面ANM的一個法向量，所以cos=

即為所求。 14分

考點：1.線面平行.2.面面平行.3.二面角的知識.