Question

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

 

Answer 1

（1）；（2）相切

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的左右頂點分別為，離心率，即可求出的值.即可得到結論.

（2）依題意假設點C坐標，以及點R的坐標，由點A，C，R三點共線即可求得點R的坐標表示.從而表示出點D的坐標，寫出直線CD的方程，再計算圓心到該直線的距離，再根據點C在圓上，即可判斷直線與圓的位置關系.

（1）由題意可得，， ∴ ． 2分

∴， 3分

所以橢圓的方程為． 4分

（2）解法一：曲線是以為圓心，半徑為2的圓.

設，點的坐標為， 5分

∵三點共線， ∴， 6分

而，，則，

∴， 7分

∴點的坐標為，點的坐標為， 8分

∴直線的斜率為，

而，∴，

∴， 10分

∴直線的方程為，化簡得，

∴圓心到直線的距離， 11分

所以直線與曲線相切． 12分

解法二：同解法一得， 10分

又，故，即，

所以直線與圓相切． 12分

考點：1.待定系數法求橢圓方程.2.直線與橢圓的位置關系.3.方程的思想.