Question

【題目】已知A是橢圓E： =1的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E與A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（1）當|AM|=|AN|時，求△AMN的面積
（2）當2|AM|=|AN|時，證明： ＜k＜2．

Answer 1

【答案】
（1）

由橢圓E的方程： =1知，其左頂點A（﹣2，0），

∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN為等腰直角三角形，

∴MN⊥x軸，設M的縱坐標為a，則M（a﹣2，a），

∵點M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a= 或a=0（舍），

∴S△AMN= a×2a=a2=

（2）

設直線lAM的方程為：y=k（x+2），直線lAN的方程為：y=﹣ （x+2），由 消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴xM﹣2=﹣ ，∴xM=2﹣ = ，

∴|AM|= |xM﹣（﹣2）|= =

∵k＞0，

∴|AN|= = ，

又∵2|AM|=|AN|，∴ = ，

整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0，

設f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，

則f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0，

∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8為（0，+∞）的增函數，

又f（ ）=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ﹣ ＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，

∴ ＜k＜2．

【解析】（1）依題意知橢圓E的左頂點A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN為等腰直角三角形，設M（a﹣2，a），利用點M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a= ，從而可求△AMN的面積；（II）設直線lAM的方程為：y=k（x+2），直線lAN的方程為：y=﹣ （x+2），聯立 消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韋達定理及弦長公式可分別求得|AM|= |xM﹣（﹣2）|= ，|AN|= = ， 結合2|AM|=|AN|，可得 = ，整理后，構造函數f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，利用導數法可判斷其單調性，再結合零點存在定理即可證得結論成立．；本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，常用的方法就是聯立方程求出交點的橫坐標或者縱坐標的關系，通過這兩個關系的變形去求解，考查構造函數思想與導數法判斷函數單調性，再結合零點存在定理確定參數范圍，是難題．