Question

【題目】某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買(mǎi)，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：
以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù)．

（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，確定n的最小值；
（3）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，

P（X=16）=（ ）2= ，

P（X=17）= ，

P（X=18）=（ ）2+2（ ）2= ，

P（X=19）= = ，

P（X=20）= = ，

P（X=21）= = ，

P（X=22）= ，

∴X的分布列為：

X	16	17	18	19	20	21	22
P

（2）

解：由（1）知：

P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）

= ．

P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= ．

∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值為19

（3）

解：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）

= ．

買(mǎi)19個(gè)所需費(fèi)用期望：

EX1=200× +（200×19+500）× +（200×19+500×2）× +（200×19+500×3）× =4040，

買(mǎi)20個(gè)所需費(fèi)用期望：

EX2= +（200×20+500）× +（200×20+2×500）× =4080，

∵EX1＜EX2，

∴買(mǎi)19個(gè)更合適

【解析】離散型隨機(jī)變量及其分布列.（1）由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（2）由X的分布列求出P（X≤18）= ，P（X≤19）= ．由此能確定滿足P（X≤n）≥0.5中n的最小值．（3）由X的分布列得P（X≤19）= ．求出買(mǎi)19個(gè)所需費(fèi)用期望EX1和買(mǎi)20個(gè)所需費(fèi)用期望EX2 ， 由此能求出買(mǎi)19個(gè)更合適.本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．