Question

（Ⅰ） 如圖，一個扇形OAB的面積是1cm²，它的周長是4cm，求圓心角的弧度數和弦長AB．
（Ⅱ） 已知f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤

17

4

對一切x∈R恒成立，求實數a的范圍．

Answer 1

考點：復合三角函數的單調性,扇形面積公式

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ） 設圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則

1 2 lr=1 l+2r=4

，解得

r=1 l=2

，然后，求解圓心角和弧長；
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+sinx+a=-（sinx-

1

2

）²+a+

1

4

，然后，結合給定的范圍求解實數a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 設圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則

1 2 lr=1 l+2r=4

，
∴

r=1 l=2

，
∴圓心角為

l

r

=2，
過點O作OH⊥AB于H，則∠AOH=1弧度，
∴AH=1•sin1=sin1（cm），
∴AB=2sin1（cm），
（Ⅱ）f（x）=-sin²x+sinx+a
=-（sinx-

1

2

）²+a+

1

4

，
∴f（x）man=a+

1

4

，f（x）min=a-2，
若1≤f（x）≤

17

4

對一切x∈R恒成立，則

a-2≥1 a+ 1 4 ≤ 17 4

，
∴3≤a≤4．

點評：本題重點考查了弧長公式、圓心角公式、二次函數的最值等知識，屬于中檔題，解題關鍵是靈活運用公式進行求解問題．