Question

7．已知兩點A（3，2），B（-1，2），圓C以線段AB為直徑．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）求過點M（3，1）的圓C的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求過點M（3，1）的圓C的切線方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得圓心C的坐標為（1，2），---------（2分）
直徑$2r=\sqrt{16+0}=4$．故半徑r=2----------（4分）
所以，圓C的方程為（x-1）²+（y-2）²=4．--------（5分）
（Ⅱ）∵（3-1）²+（1-2）²=5＞4，∴點M在圓C外部．
（1）當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x=3，
即x-3=0．------------------------------------------------------------（7分）
又點C（1，2）到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r，
即此時滿足題意，所以直線x=3是圓的切線．
（2）當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y-1=k（x-3），
即kx-y+1-3k=0，-------------------------------（8分）
則圓心C到切線的距離d=$\frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{k2+1}}$=r=2，------（10分）（距離公式1分）
解得k=$\frac{3}{4}$．-------------------------------------（11分）
∴切線方程為y-1=$\frac{3}{4}$（x-3），即3x-4y-5=0．
綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0．-------（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．